Flächenträgheitsmomente sind besonders für die Festigkeitslehre von Bedeutung, da in der Festigkeitslehre die Verformung und Spannung von Objekten bzw. deren Oberflächen eine Rolle spielen.
Mit der Berechnung des Flächenträgheitsmoments kann ein mögliche Verformung/Verbiegung eingeschätzt und so ein Körper auf seine Stabilität hin untersucht werden.
Abhängig von sind Flächenträgheitsmomente von Größe und Form (Geometrie) eines Querschnitts sowie von der Lage des Bezugsystems.
Flächenträgheitsmomente werden auch als Flächenmoment 2. Grades bezeichnet.
In einem Kräftesystem müssen häufig Kräfte berücksichtigt werden, welche über eine Masse oder (vereinfacht) Fläche wirken.
Beispielsweise wird ein kegelförmiges Objekt von der Schwerkraft nach unten gezogen. Dabei wirkt die Schwerkraft jedoch auf jedes einzelne Atom des Objekts.
In der vereinfachten Darstellung wird jedoch nur mit einer resultierenden Kraft gerechnet. Diese muss jedoch am Schwerpunkt ansetzen.
Im Körper ist der Punkt, in dem die Resultierende aller Massenkräfte angreift, der Massenmittelpunkt. Die Resultierende aller Massenkräfte ist die Gewichtskraft. Entsprechendes gilt auch für den Flächenmittelpunkt.
Nachfolgend soll ein Beispiel zur Berechnung der Statik unter Berücksichtigung der Haftungskraft gegeben werden: Die Rolle.
Eine Rolle ist ein gewickeltes Material – Als Beispiel darf man sich gerne die „Klorolle“ vorstellen.
Die (hier als Beispiel verwendete) Toilettenpapier-Rolle ist an einer Wand mit einem Stab befestigt. Der Stab und die Rolle sind über ein Gelenk verbunden, so dass sich die Rolle drehen kann.
Beim Kontakt von zwei oder mehreren Objekten mit Belastung, wirkt eine Kraft. Diese Kraft könnte z.B. die Gewichtskraft sein. Eine Normalkraft, die aus der Stabilität des anderen Objektes bzw. dem Fundament resultiert, wirkt entgegen.
Trifft die Kraft nicht direkt, sondern in einem Winkel auf die Normalkraft, weichen die Objekte einander aus.
Das skizzierte Beispiel zeigt ein Objekt auf einer schiefen Ebene, es wird durch die Gewichtskraft in Richtung Erdmittelpunkt gezogen, die Normalkraft hält das Objekt jedoch und zwingt es zum Ausweichen. Resultat: Das Objekt rutscht die schiefe Ebene herunter.
Das Objekt rutscht in jedem Fall unter Annahme einer ideal glatten Kontaktfläche.
Tatsächlich gibt es jedoch keine ideal glatte Kontaktfläche. Selbst glattpoliertes Metall oder Glas sieht unter einem Mikroskop bei entsprechender Vergrößerung aus wie ein Alpengebirge. Objekte haben ausnahmslos raue Oberflächen.
Die raue Oberfläche führt zu einem Haftungs-/Reibungswiderstand, was zu einer gegenüber der Gewichtskraft entgegenwirkenden Reibungs-/Haftwiderstandskraft führt. Ist der Reibungs-/Haftwiderstand groß genug, fixiert sie gemeinsam mit der Normalkraft das Objekt. Ist die Haftkraft zu gering, überwindet die Gewichtskraft den Reibungswiderstand und es kommt zu einer Bewegung der Körper gegeneinander (das Objekt gleitet die schiefe Ebene herunter).
Bei gegebener Statik befindet sich die Konstruktion in Ruhe, d.h. sie bewegt sich nicht, verbiegt bzw. zerbricht nicht.
Die summierten Kräfte jeder Dimension müssen sich daher gegenseitig aufwiegen, also Null ergeben. Dies soll an Hand eines Beispiels mit Lager- und Stabkräften verdeutlicht werden.
Gegeben sind zwei Stäbe, welche von zwei Festlagern gehalten werden und einen Punkt bzw. ein Objekt fixieren.
Die Stäbe sind gleich lang und bilden ein gleichschenkliges Dreieck. Am Berührungspunkt C der beiden Stäbe ist zwischen den Stäben der Winkel 2*α aufgespannt.
Auf die Konstruktion wirkt eine gegebene Kraft F auf den zu fixierenden Punkt ein. Die Kraft wirkt schräg, in einem Winkel β zur Spiegelachse des gleichschenkligen Dreiecks. Diese Kraft müssen die Lager und Stäbe aufnehmen. In der Konstruktion befinden sich drei Lager. Die beiden Festlager, mit denen die Stäbe am Fundament befestigt sind sowie die Stabverbindung, welche beide Stäbe (und möglicherweise ein Objekt) zusammenhält.
Gelenke dienen ähnlich wie Lager der Fixierung einer Konstruktion. Ein Gelenk soll jedoch nicht alle inneren Kräfte übertragen, sondern einer bestimmten Kraft nachgeben. So kann eine Beweglichkeit in einer Konstruktion bzw. in einem Tragwerk erreicht werden.
Innere Kräfte, die bestimmte Gelenke nicht übertragen sollen:
Moment: Momente sind die aus gegenläufigen Kräften mit Hebel resultierende Drehkraft
Querkraft: Die Querkraft wirkt vertikal aus Sicht des Koordinatensystems, daher wird sie auch Vertikalkraft genannt
Normalkraft: Die Normalkraft wirkt senkrecht zur Querkraft, also horizontal.
Für Konstruktionen, die sehr stabil sein müssen, werden Fachwerke (oder fachwerkähnliche Konstruktionen) verwendet. Fachwerke werden z.B. im Hochhaus-, Dach- und Brückenbau verwendet. Ein Fachwerk ist eine Stabkonstruktion. Die Stäbe des Fachwerks sollen ausschließlich auf Druck und Zug in Stabrichtung belastet werden und nicht etwa auf Biegung.
Ein beispielhaftes (ebenes) Fachwerk für eine Brücke:
Das Fachwerk besteht aus 15 Stäben. Die Fächer (Zwischenräume) bestehen aus gleichschenkligen Dreiecken.
Typisch für eine Brücke, ist es auf der einen Seite durch ein Festlager, auf der anderen Seite durch ein Loslager fixiert. Das Loslager soll die aus einer temperaturabhängigen Ausdehnung resultierende Spannung abbauen.
Grundsätzlich soll eine Lagerung eine Konstruktion fixieren. Das typische Lager ist daher das Festlager, welches die Konstruktion in alle Richtungen fixiert.
Da Bauteile sich jedoch ausdehnen oder mechanisch beweglich sein müssen, sind nicht im jeden Fall Festlager einsetzbar. Loslager fixieren eine Konstruktion nur (Zweidimensionalität) in einer bzw. (Dreidimensionalität) in zwei Richtungen.
Loslager kommen z.B. bei der Lagerung einer Welle zum Einsatz oder im Stahl-Brückenbau.
Fest- und Loslager übertragen keine Momente. Eine momentübertragende Lagerung ist hingegen die Einspannung.
Ein Lager im Sinne der Technischen Mechanik wird auch als Auflager bezeichnet.
Los- und Festlager können zwar Kräfte im zwei- bzw. dreidimensionalen Raum aufnehmen, tun sich aber mit der Aufnahme von Momenten schwer. So können Bauelemente durch Verdrehung möglicherweise aus der Lagerung gerissen werden.
Ist eine besondere Widerstandsfähigkeit gegenüber Momenten notwendig, kann dieses durch Einspannung erreicht werden. Die Einspannung wird durch tiefe Verankerung ermöglicht. Die Verankerung kann durch feste Verbindung mit dem Fundament (z.B. durch Festschweißen oder mehrfache Vernietung), im Idealfall mit tiefer Verwurzelung im Fundament, erreicht werden.
Ein Beispiel in der vereinfachten, weil zweidimensionalen, Darstellung: Ein Stahlbalken ist in einem Betonfundament verankert. Es nimmt Kräfte in horizontaler als auch in vertikaler Richtung auf. Zusätzlich kann der Balken nicht verdreht werden, da er mit dem Fundament verankert ist (man müsste also theoretisch das Fundament mitdrehen, um den Balken drehen zu können). Die Einspannung als Lager ist daher dreiwertig und sehr stabil. Abhängig vom Fundament und dem Werkstoff des Balkens, ist auch die Tiefe und Form/Verzweigung der Verankerung für die Fähigkeit zur Momentaufnahme maßgeblich. Ein Balken mit Ecken und Kanten ließe sich z.B. weit schwieriger verdrehen als ein runder Balken.
In der Realität, also im dreidimensionalen Raum, können bei Einspannung Kräfte und Momente in allen Richtungen aufgenommen werden. Die Einspannung als Lager ist im dreidimensionalen Raum daher sechswertig (Kräfte in X-,Y- und Z-Richtung, Momente um die X-, Y- und Z-Achse) .
