Flächenträgheitsmomente sind besonders für die Festigkeitslehre von Bedeutung, da in der Festigkeitslehre die Verformung und Spannung von Objekten bzw. deren Oberflächen eine Rolle spielen.
Mit der Berechnung des Flächenträgheitsmoments kann ein mögliche Verformung/Verbiegung eingeschätzt und so ein Körper auf seine Stabilität hin untersucht werden.
Abhängig von sind Flächenträgheitsmomente von Größe und Form (Geometrie) eines Querschnitts sowie von der Lage des Bezugsystems.
Flächenträgheitsmomente werden auch als Flächenmoment 2. Grades bezeichnet.
Berechnung des Flächenträgheitsmoments
Die Berechnung geschieht abhängig von der Geometrie nach dem Steiner Satz. Die Berechnung des Flächenträgheitsmomenteserfolgt bei einem Rechteck wie folgt:
Es ist der Schwerpunkt des Rechtecks zu bestimmen. Durch diesen verläuft die Rotationsachse.
Es kann um die X- und Y-Achse gedreht werden (im dreidimensionalen Raum zusätzlich um die Z-Achse).
Das Trägheitsmoment wird mit dem Buchstaben J symbolisiert.
Das Flächenträgheitsmoment ist hier von der Rotationsachse abhängig, da die Spiegelung über die X-Achsen ungleich der Spiegelung über die Y-Achse ist. (Bei Kreisen ist das Flächenträgheitsmoment unabhängig von der Rotationsachse). Daher muss das Trägheitsmoment mit der Rotationsachse X von dem mit der Rotationsachse Y unterschieden werden.
(Diese Gleichungen sind an die Geometrie eines Rechtecks gebunden! Für Dreiecke, Kreise, Halbkreise, Trapeze etc. gelten andere Gleichungen nach dem Steiner Satz)
Ermittlung der Flächenträgheitsmomente bei zusammengesetzten Objekten
Beispiel: Zwei gleiche Träger sind mit einer Kugel verbunden. (Hierbei wird sich jedoch auf die Zweidimensionalität beschränkt, daher handelt es sich nicht um eine Kugel, sondern um einen Kreis).
Zur Ermittlung des Flächenträgheitsmoments wird das Objekt um die eigene (vertikal, die einzige Spiegelachse) Achse gedreht.
Probleme bereitet die komplexe Geometrie des gesamten Objekts. Das Objekt kann jedoch in einzelne Teilstücke mit jeweils bekannter Geometrie zerlegen.
Während der Kreis seine Achse, welche aus Sicht des gesamten Körpers zentral liegt, behält, bekommen die vier Träger jeweils eine eigene Achse. Jede Teilstück-Achse muss durch den Schwerpunkt des Teilsstückes gehen und parallel zur zentralen Achse der Kugel verlaufen.
Nun können die Flächenmomente der einzelnen Teilstücke errechnet werden. Für die Ermittlung des gesamten Objekts sind noch die Abstände ein wichtiger Faktor. Der Abstand ist im Grunde ein Radius, denn wenn die Abstände um die Hauptrotationsachse gedreht wird, würde ein Kreis entstehen. (hierfür ist etwas Vorstellungskraft nötig)
Das Flächenträgheitsmoment Jz des gesamten Gebildes um die Z-Achse errechnet sich nun aus der Summe aller Flächenträgheitsmomente der Teilflächen Ji, addiert mit der Summe aller Produkte der quadrierten Abstände r der Teilstück-Achsen von der zentralen Hauptachse des gesamten Gebildes und der Flächeninhalte der Teilstücke Ai.
Analog verhält es sich mit dem Volumenträgheitsmoment. Dann fließt statt der Fläche das Körper-Volumen in die Rechnung mit ein.
Hinweis:
Das Flächenträgheitsmoment sollten nicht mit dem Massenträgheitsmoment verwechselt werden. Das Massenträgheitsmoment befasst sich nicht mit der Steifigkeit/Stabilität eines Materials oder Objekts, sondern mit der Trägheit einer Reaktion auf veränderte Rotationsgeschwindigkeit. Massenträgheitsmomente befassen sich mit dem Bewegungszustand eines Körpers.