Schnittlasten: Innere Kräfte am Balken

Der Balken ist gelagert durch ein Festlager am Punkt A und ein Loslager am Punkt B.

Auf den Balken wirken zwei Kräfte F1 und F2 ein.

Schnittlasten

Um die Gleichungen ohne Trigonometrie zu lösen wird die im Winkel α angreifende Kraft schon in der Skizze in die Kräfte F1x und F1y eingeteilt.

Schnittlasten

Es stehen zudem drei Längen a, b und c zur Verfügung.

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Benjamin Aunkofer ist Wirtschaftsingenieur und -informatiker. Er arbeitet in den interdisziplinären Themengebieten als Dozent an der HTW Berlin und engagiert sich als Unternehmer insbesondere für Big Data und Industrie 4.0.

Schnittlasten

Die Kräfte, die auf eine Konstruktion einwirken, werden von den Trägern an die Lager weitergegeben. An den Lagern wirken daher die Kräfte und Momente, die auch auf die Träger wirken.

Eine Überbelastung einer Konstruktion führt jedoch nicht unbedingt zur Verformung oder zum Zerbrechen an den Lagern, auch die Träger können durch Krafteinwirkungen beschädigt werden, denn die Kräfte wirken auch in den Trägern selbst.

Von Bedeutung sind dabei die inneren Kräfte.

Mit einem imaginären Schnitt durch einen Träger, können die inneren Kräfte bzw. die Schnittgrößen skizziert werden.
Die Schnittgrößen spielen sowohl in der Statik, als auch in der Festigkeitslehre und in der Dynamik eine Rolle.

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Flächenmomente (Steiner Satz)

Mit den Gleichungen nach dem Steiner Satz können die Flächenträgheitsmomente verschiedener Gebilde unterschiedlicher Geometrie berechnet werden.

Beispiel: Rechteck mit Schwerpunkt am Mittelpunkt

Flächenträgheitsmoment-Berechnung

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Berechnung von Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Es soll das Flächenträgheitsmoment eines gegabelten Objekts errechnet werden.

Trageheitsmoment

Das Objekt hat eine fest definierte Größe, die sich aus der Zusammensetzung aus 18 Quadraten mit der Seitenlänge a ergibt. Es handelt sich um ein komplexes Objekt, da es insgesamt gesehen eine komplexe Geometrie besitzt. Das Objekt kann aber in Objekte mit bekannter Geometrie unterteilt werden; Es ergeben sich dadurch vier Rechtecke.
Die Verbundstücke (Winkelstücke) gehören dem horizontalen Rechteck an.

TrageheitsmomentTrageheitsmoment

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Flächenträgheitsmomente

Flächenträgheitsmomente sind besonders für die Festigkeitslehre von Bedeutung, da in der Festigkeitslehre die Verformung und Spannung von Objekten bzw. deren Oberflächen eine Rolle spielen.

Mit der Berechnung des Flächenträgheitsmoments kann ein mögliche Verformung/Verbiegung eingeschätzt und so ein Körper auf seine Stabilität hin untersucht werden.
Abhängig von sind Flächenträgheitsmomente von Größe und Form (Geometrie) eines Querschnitts sowie von der Lage des Bezugsystems.

Flächenträgheitsmomente werden auch als Flächenmoment 2. Grades bezeichnet.

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Schwerpunktberechnung

In einem Kräftesystem müssen häufig Kräfte berücksichtigt werden, welche über eine Masse oder (vereinfacht) Fläche wirken.
Beispielsweise wird ein kegelförmiges Objekt von der Schwerkraft nach unten gezogen. Dabei wirkt die Schwerkraft jedoch auf jedes einzelne Atom des Objekts.

In der vereinfachten Darstellung wird jedoch nur mit einer resultierenden Kraft gerechnet. Diese muss jedoch am Schwerpunkt ansetzen.

Schwerpunkt

Im Körper ist der Punkt, in dem die Resultierende aller Massenkräfte angreift, der Massenmittelpunkt. Die Resultierende aller Massenkräfte ist die Gewichtskraft. Entsprechendes gilt auch für den Flächenmittelpunkt.

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Haftungskraft – Die Rolle als Beispiel

Nachfolgend soll ein Beispiel zur Berechnung der Statik unter Berücksichtigung der Haftungskraft gegeben werden: Die Rolle.

Eine Rolle ist ein gewickeltes Material – Als Beispiel darf man sich gerne die “Klorolle” vorstellen.

Haftung bei einer Rolle

Die (hier als Beispiel verwendete) Toilettenpapier-Rolle ist an einer Wand mit einem Stab befestigt. Der Stab und die Rolle sind über ein Gelenk verbunden, so dass sich die Rolle drehen kann.

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Haftung & Reibung

Beim Kontakt von zwei oder mehreren Objekten mit Belastung, wirkt eine Kraft. Diese Kraft könnte z.B. die Gewichtskraft sein. Eine Normalkraft, die aus der Stabilität des anderen Objektes bzw. dem Fundament resultiert, wirkt entgegen.
Trifft die Kraft nicht direkt, sondern in einem Winkel auf die Normalkraft, weichen die Objekte einander aus.

Das skizzierte Beispiel zeigt ein Objekt auf einer schiefen Ebene, es wird durch die Gewichtskraft in Richtung Erdmittelpunkt gezogen, die Normalkraft hält das Objekt jedoch und zwingt es zum Ausweichen. Resultat: Das Objekt rutscht die schiefe Ebene herunter.

Haftungswiderstand

Das Objekt rutscht in jedem Fall unter Annahme einer ideal glatten Kontaktfläche.
Tatsächlich gibt es jedoch keine ideal glatte Kontaktfläche. Selbst glattpoliertes Metall oder Glas sieht unter einem Mikroskop bei entsprechender Vergrößerung aus wie ein Alpengebirge. Objekte haben ausnahmslos raue Oberflächen.

Die raue Oberfläche führt zu einem Haftungs-/Reibungswiderstand, was zu einer gegenüber der Gewichtskraft entgegenwirkenden Reibungs-/Haftwiderstandskraft führt. Ist der Reibungs-/Haftwiderstand groß genug, fixiert sie gemeinsam mit der Normalkraft das Objekt. Ist die Haftkraft zu gering, überwindet die Gewichtskraft den Reibungswiderstand und es kommt zu einer Bewegung der Körper gegeneinander (das Objekt gleitet die schiefe Ebene herunter).

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Lagerkräfte und Stabkräfte – Technische Mechanik

Bei gegebener Statik befindet sich die Konstruktion in Ruhe, d.h. sie bewegt sich nicht, verbiegt bzw. zerbricht nicht.

Die summierten Kräfte jeder Dimension müssen sich daher gegenseitig aufwiegen, also Null ergeben. Dies soll an Hand eines Beispiels mit Lager- und Stabkräften verdeutlicht werden.

Gegeben sind zwei Stäbe, welche von zwei Festlagern gehalten werden und einen Punkt bzw. ein Objekt fixieren.

Zwei Stäbe Technische Mechanik

Die Stäbe sind gleich lang und bilden ein gleichschenkliges Dreieck. Am Berührungspunkt C der beiden Stäbe ist zwischen den Stäben der Winkel 2*α aufgespannt.

Zwei Stäbe Technische Mechanik

Auf die Konstruktion wirkt eine gegebene Kraft F auf den zu fixierenden Punkt ein. Die Kraft wirkt schräg, in einem Winkel β zur Spiegelachse des gleichschenkligen Dreiecks. Diese Kraft müssen die Lager und Stäbe aufnehmen. In der Konstruktion befinden sich drei Lager. Die beiden Festlager, mit denen die Stäbe am Fundament befestigt sind sowie die Stabverbindung, welche beide Stäbe (und möglicherweise ein Objekt) zusammenhält.

Zwei Stäbe Technische Mechanik

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