Schwerpunktberechnung

In einem Kräftesystem müssen häufig Kräfte berücksichtigt werden, welche über eine Masse oder (vereinfacht) Fläche wirken.
Beispielsweise wird ein kegelförmiges Objekt von der Schwerkraft nach unten gezogen. Dabei wirkt die Schwerkraft jedoch auf jedes einzelne Atom des Objekts.

In der vereinfachten Darstellung wird jedoch nur mit einer resultierenden Kraft gerechnet. Diese muss jedoch am Schwerpunkt ansetzen.

Im Körper ist der Punkt, in dem die Resultierende aller Massenkräfte angreift, der Massenmittelpunkt. Die Resultierende aller Massenkräfte ist die Gewichtskraft. Entsprechendes gilt auch für den Flächenmittelpunkt.

Schwerpunktberechnung, Beispiel:

Die Schwerpunktberechnung ist verhältnismäßig simpel. Bei einfachen Objekten, z.B. bei einem Kreis oder einem Rechteck, ist die Ermittlung des Schwerpunktes ohne Umwege möglich. Bei komplexeren, weil zusammengesetzten, Objekten, ist dies ein wenig umständlicher.
Als Beispiel dient hier ein verwinkelter Balken. Diese besteht im Grund aus drei Rechtecken.
Es soll der Flächenschwerpunkt errechnet werden.

Das Objekt muss in Teilflächen separiert werden, denn so stehen drei einfache Objekte mit bekannter Geometrie (hier: Rechtecke) zur Verfügung. Die Teilstücke werden (in diesem Beispiel mit Römischen Zahlen) nummeriert.

Wichtig (und eine häufige Fehlerquelle) ist bei der Schwerpunktberechnung, dass Flächenteile nicht doppelt berücksichtigt werden. Diese Gefahr besteht vor allem an den Verbundstücken des Objekts.
In diesem Beispiel, gehören die Teilflächenüberschneidungen zum vertikalen Balken, sie hätten auch zu den horizontalen Balken gehören können (siehe hier).

Die Flächenschwerpunktberechnung erfolgt mit folgenden Formeln:

Die Schwerpunktermittlung erfolgt für jede Dimension getrennt.
Es werden die Schwerpunktpositionen aller Teilstücke (Xsi und Ysi, i = Anzahl der Teilstücke) mit den jeweiligen Flächengrößen der Teilstücke multipliziert. Da es sich um ein großes, aus den Teilstücken zusammengesetztes Objekt handelt, werden diese Produkte summiert und durch die gesamte Flächengröße dividiert.

Für die Schwerpunktberechnung sind demnach alle Teilschwerpunktpositionen (in X- und Y-Richtung), alle Teilflächengrößen und die gesamte Flächengröße notwendig.

Es fehlt noch ein Orientierungspunkt. Daher muss ein Ursprung im Koordinatensystem festgelegt werden.
Dieses kann beliebig gesetzt worden sein (es darf jedoch über die Berechnung hinweg nicht verschoben werden, ansonsten müssen die Werte umgerechnet werden).
Im Beispiel wird der Ursprung des Koordinatensystems unten links positioniert. Dies ist empfehlenswert, da sich die gesamte Fläche des Objekts im positiven Bereich des Koordinatensystems befindet.

Die Berechnung der für die Flächenschwerpunktberechnung notwendigen Größen erfolgt idealerweise mit einer Tabelle, da sonst schnell die Übersicht verloren geht. Die Tabelle hat drei Zeilen, da die zusammengesetzte Fläche drei Teilflächen hat. Die gesuchten Größen werden in der vierten Zeile summiert und damit für die Berechnung mit den Formeln für die Teilflächenschwerpunkte vorbereitet.

In die Tabelle werden die jeweiligen Werte eingetragen.
Die Werte Xsi und Ysi werden für jede Teilfläche am Koordinatensystem abgelesen, dabei gilt bei Rechtecken, dass der Schwerpunkt eines Rechteckes an einer Dimension an der Hälfte der Seitenlänge liegt; Orientierungspunkt ist der im Vorfeld festgelegte Koordinatenursprung (Punkt 0;0).

Die ermittelten Summen können dann in die Formeln für die Ermittlung der Flächenschwerpunkte eingetragen werden.

Der errechnete Schwerpunkt kann nun in die Skizze eingetragen werden.