Es soll das Flächenträgheitsmoment eines gegabelten Objekts errechnet werden.
Das Objekt hat eine fest definierte Größe, die sich aus der Zusammensetzung aus 18 Quadraten mit der Seitenlänge a ergibt. Es handelt sich um ein komplexes Objekt, da es insgesamt gesehen eine komplexe Geometrie besitzt. Das Objekt kann aber in Objekte mit bekannter Geometrie unterteilt werden; Es ergeben sich dadurch vier Rechtecke.
Die Verbundstücke (Winkelstücke) gehören dem horizontalen Rechteck an.
Berechnung des Schwerpunkts
Für das Flächenträgheitsmoment muss der Schwerpunkt bekannt sein, dieser muss als Erstes berechnet werden.
Die Schwerpunktposition in X- und Y-Richtung berechnet sich aus der Summe aller Produkte aus den Schwerpunkpositionen Xsi/Ysi der Teilstücke und den Flächengrößen der entsprechenden Teilstücke, dividiert durch die Flächengröße des gesamten Objekts.
Für die Ermittlung des Schwerpunktes muss noch ein Koordinatenursprung als Orientierungspunkt gesetzt werden. Dieser könnte z.B. unten links gesetzt werden, mit dem Vorteil, dass das gesamte Objekt im positiven Koordinatenbereich liegt.
In diesem Beispiel wird der Ursprung (Punkt 0;0) des Koordinatensystems aber zwischen dem Teilstück 1 und dem Teilstück 2 platziert.
Es werden die Schwerpunktangaben und die Flächengrößen sowie das Produkt aus beiden Angaben für jedes Teilstück benötigt. Diese Werte sind leicht abzulesen und zu errechnen. Am übersichtlichsten geschieht dies in einer Tabelle.
Mit der tabellarischen Form können alle Faktoren übersichtlich geordnet werden und unter den Spalten die Summen aus den relevanten Werten gebildet werden. Diese Summen können dann in die Gleichung für die Schwerpunktberechnung eingesetzt werden.
Als Ergebnis steht nun ein Schwerpunkt S(0; -1,83) fest, dieser kann für eine bessere Vorstellung der Schwerpunktlage in die Skizze eingefügt werden.
Berechnung des Flächenträgheitsmoments
Das gesamte Objekt ist zusammengesetzt aus mehreren Teilstücken.
Das Flächenträgheitsmoment für das gesamte Gebilde berechnet sich nicht nur aus der Summe aller Flächenmomente der Teilstücke, sondern auch aus den Abständen der Schwerpunkte der jeweiligen Teilstücke von dem (errechneten) Schwerpunkt des gesamten Gebildes.
Diese Abstände werden quadriert und mit der Fläche des dazugehörigen Teilstücks multipliziert.
Jx = Flächenträgheitsmoment, Rotation um die X-Achse
Jy = Flächenträgheitsmoment, Rotation um die Y-Achse
Das Flächenträgheitsmoment eines einzelnen Objekts mit bekannter Geometrie berechnet sich mit dem Steiner Satz.
Die vier Teilstücke sind einfache Rechtecke.
In diesem Beispiel müssen daher die Gleichungen zur Errechnung des Flächenträgheitsmoments mit den Rotationsachsen X und Y für Rechtecke verwendet werden.
(Diese Gleichungen sind an die Geometrie eines Rechteckes gebunden! Die Flächenträgheitsmomente für Kreise, Halbkreise, Dreiecke, Trapeze etc. werden mit anderen Gleichungen nach dem Steiner Satz berechnet!)
Auch (bzw. insbesondere) bei der Errechnung der Flächenträgheitsmomente für komplexe Gebilde, ist der tabellarische Weg sehr hilfreich.
Es werden die Flächenträgheitsmomente mit den Gleichungen nach dem Steiner Satz für alle Teilstücke errechnet. Die Abstände ergeben sich aus der Subtraktion der Schwerpunktposition des gesamten Objekts von den Schwerpunkpositionen der jeweiligen Teilstücke.
Die ermittelten Summen können in die Gleichungen für die Ermittlung des Flächenträgheitsmoments des zusammengesetzten Objekts eingesetzt werden. Die Flächenträgheitsmomente um die X-Achse und um die Y-Achse wurden damit vollständig errechnet.
