Elektrischer Widerstand und Leitwert

Ein durch einen Leiter fließender elektrischer Strom wird durch einen vom Leiter abhängigen Widerstand
eingeschränkt. Die Elektronen können durch das Leitermaterial nicht vollkommen ungehindert strömen, da sie die Atome des Atomgitters passieren müssen. Daher wird dem elektrischen Strom ein sogenannter elektrischer Widerstand R entgegengesetzt. Die Einheit des Widerstandes ist das Ohm.

Der Strom ist abgängig von der anliegenden Spannung und dem Wiederstand R, da er der Quotient aus beidem ist.

Der elektrische Widerstand R ist damit das Verhältnis aus anliegender Spannung zum fließenden Strom, dies ist eines der Kernaussagen des ohmschen Gesetzes.

Ist die Spannung sehr hoch, aber der fließende Strom trotzdem verhältnismäßig gering, heißt dies, dass der elektrische Widerstand sehr hoch ist. Der Idealfall für einen Leiter ist der Widerstand von 0 Ohm. Der Widerstand ist immer positiv anzugeben.

Ein passiver Zweipol ist ein elektrischer Widerstand der Größe von einem Ohm, wenn bei einer Spannung von einem Volt der Strom von einem Ampere fließt.

Symbolzeichen (ohmischer Widerstand)
Allgemeines Symbolzeichen (ohmscher Widerstand)

Der Kehrwert des elektrischen Widerstand ist die elektrische Leitfähigkeit. Der Leitwert G, welcher in der Einheit Siemens gemessen wird, gibt den Grad der Leitfähigkeit an.

Der Widerstand R eines Leiters ist des weiteren bestimmt, durch seinen Körper. Einen, in Fließrichtung gestreckter Körper eines Materials bietet immer (außer bei einem Widerstand von 0 Ohm) einen höheren Widerstand als ein kürzerer Körper des selben Materials. Der Widerstand eines Leiters ist also auch abhängig von seiner Länge.

Ein dicker Leiter lässt einen höheren Stromfluss zu, der Widerstand eines Leiter verkleinert sich, wenn der Leiter eine geringere Querschnittsfläche bekommt. (zur besseren Vorstellung: Durch ein breites Wasserrohr [Leiter] kann zur selben Zeit mehr Wasser [Ladungsträger] fließen, als durch ein kleines Wasserrohr bei gleichem Druck [Spannung]).

Der Widerstand ist abhängig von der Länge des Leiters und der Fläche des Querschnitts.

Ein großer Formfaktor (z. B. ein sehr langer, dünner Draht), welcher sich aus diesem Länge/Querschnitt-Verhältnis ergibt, hat einen höheren Widerstand zur Konsequenz, ein kleiner Formfaktor (sehr kurzer, dicker Draht) demzufolge einen kleineren elektrischen Widerstand.

Der elektrische Widerstand ist jedoch auch vom Material abhängig. So hat es auf den elektrischen Widerstand Auswirkung, wenn es sich als Leiter um beispielsweise einen Kupferdraht oder Konstantandraht handelt.

Es gibt daher noch den materialspezifischen Widerstand, welcher multipliziert mit dem Formfaktor den elektrischen Widerstand ergibt. Dieser materialspezifischer Widerstand gilt für jedes bestimmte Material als eine Materialkonstante.

Beispiel:

Ein 50 m langer Kupferdraht soll als Stromleiter dienen. Sein Querschnitt beträgt 1,2 mm².
Wie hoch ist der gesamte Widerstand dieses Kupferdrahts?

Diese Gesetzmäßigkeit ist jedoch nur vollständig richtig, solange die Temperatur des Materials konstant bleibt. Mit der Änderung der Temperatur des Materials ändert sich der elektrische Widerstand, bei temperaturabhängigen Leitern. Um diesen Änderungsgrad in die Widerstandsberechnung einbeziehen zu können, gibt es den sogenannten Temperaturkoeffizienten. Der Temperaturkoeffizient eines Materials ist eine unvermeidbare Eigenschaft, welche bei der Widerstandsberechnung eines Leitermaterials berücksichtig werden muss.

Im Grunde sind alle Materialien temperaturabhängige Leiter. Bei einige Legierungen, die bekannte ist wohl Konstantan,  bleiben der Widerstand bei Temperaturänderung annähernd stabil, diese werden daher auch als temperaturunabhängige Leiter bezeichnet.

Materialien mit relevanter Temperaturabhängigkeit, sind entweder Kaltleiter oder Heißleiter.

Metalle sind Kaltleiter, ihr Temperaturkoeffizient ist positiv, die Erwärmung sorgt für einen zunehmenden Widerstand. Kaltleiterwiderstände heißen daher auch PTC-Widerstände (engl.: positive temperatur co-efficient).

Die sogenannten Heißleiter (NTC-Widerstände) haben gegenüber Kaltleitern gegenteilige Eigenschaften. Der Widerstand von Heißleitern wird mit zunehmende Temperatur geringer. Heißleiter finden auch als Halbleiter ihren Einsatz.

Für einige Metalle, wie Kupfer und Aluminium, kann die Temperaturabhängigkeit mit folgender Gleichung ermittelt werden.

Das Ergebnis Rtheta2 drückt den elektrischen Widerstand in Ohm nach der Temperaturänderung aus.
Theta (der tiefgestellte griechische Buchstabe, welcher in HTML auch “Θ” Θ dargestellt wird) selbst ist in der Physik u.a. ein Zeichen für die Temperatur.
In der Formel werden Temperaturen (Temperatur vorher zu Temperatur nachher [Theta2 – Theta1]) verglichen.

Die beiden griechischen Buchstaben Alpha α und Beta β stehen als Temperaturkoeffizienten (TK) erster und zweiter Ordnung in der Gleichung.

Alpha ist ein linearer (TK 1. Ordnung), Beta der quadratische Temperaturkoeffizient (TK 2. Ordnung). Der lineare Temperaturkoeffizient Alpha gibt die relative Änderung des Widerstandswertes pro 1 Kelvin Temperaturunterschied zum Bezugspunkt an, wird wie Beta mit dem Temperaturunterschied multipliziert.

Ist der Temperaturkoeffizient negativ (Beispiele sind bei Kohle und Graphit zu finden), nimmt der Widerstand mit steigender Temperatur ab, ein positiver Temperaturkoeffizient bedeutet einen Anstieg des Widerstandes bei Temperaturerhöhung.

Umrechnungsformel von der Temperatur in Kelvin Tk zu Grad Celsius Tc (und umgekehrt durch Umstellung):

Bis etwa 100°C kann der quadratische Faktor aus Einfachheitsgründen entfallen, da dieser nicht sehr ins Gewicht fällt (bei außerordentlicher Genauigkeit muss dieser aber dennoch berücksichtigt werden!).

Einige ungefähre Werte (abhängig vom Zustand und der Reinheit des Materials und mit eingeschränktem Gültigkeitsbereich) des spezifischen Widerstands (p) und dem linearen Temperaturkoeffizienten (α):

Material Spezifischer Widerstand p in Ω · mm2/m Linearer Temperaturkoeffizient (Alpha) in 1/K
Aluminium 27,8 · 10−3 3,77 · 10−3
Blei 220 · 10−3 4,2 · 10−3
Dest. Wasser 2 · 1010
Eisen 1,0 · 10−1 bis 1,5 · 10−1 6,4 · 10−3
Glas 1 · 1016 bis 1 · 1021
Gold 24,4 · 10−3 3,9 · 10−3
Graphit 8,0 −2 · 10−4
Kohlenstoff 35,0 −2 · 10−4
Konstantan 500 · 10−3 5 · 10−5
Kupfer 17,8 · 10-3 3,93 · 10−3
Messing 70 · 10−3 1,5 · 10−3
Platin 110 · 10−3 3,8 · 10−3
Quecksilber 960 · 10−3 9 · 10−4
Silber 15,9 · 10−3 3,8 · 10-3
Silizium 2,3 · 109
Wolfram 56 · 10-3 4,1 · 10−3

Beispielrechnung:

Faktor der Widerstandsänderung bei einer Temperaturänderung von Eisen auf 86°C (etwa 360 Kelvin).

Wird bei Raumtemperatur (20°C) ein Widerstand einer Kupferwicklung von 1,75Ω gemessen und nach der Erwärmung ist der Widerstand auf 2 Ω gewachsen, dann errechnet sich die Temperatur der Kupferwicklung nach der Erwärmung wie folgt:

Die Temperatur erreicht bei Erwärmung eine Temperatur von 56,35°C bzw. 329,5 K.

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