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Auch bei einer verteilten Last, wie etwa ein Wasserbecken oder eine Schneedecke auf einem Dach, wird der Schwerpunkt gesucht und dort die resultierende Kraft (aus der auf der Linie verteilten Lasten) ermittelt.

Bei geometrisch bekannten Formen, zum Beispiel einem Rechteck oder rechtwinkligem Dreieck, ist sowohl die Schwerpunktermittlung als auch die Berechnung der resultierenden Kraft FR einfach.

Rechteck

Der Schwerpunkt befindet sich beim Rechteck auf der halben Länge.

Die Kraft verlagert sich bei rechteckiger Lastverteilung über die Länge L. Die Resultierende ist demnach der Betrag jeder Einzelkraft q(0) über die Länge verteilt, daher das Produkt aus der Kraft und der Länge.

(Rechtwinkliges) Dreieck

Der Schwerpunkt beim rechtwinkligen Dreieck liegt bei einem Drittel der Länge auf der Seite mit den stärksten Kräften.

Die Resultierende ist das Produkt aus der maximalen Einzelkraft q(max) und der Länge L, dividiert durch den Betrag 2. (Hinweis: Das rechtwinklige Dreieck ist ein halbes Rechteck)

Geometrisch komplexe Streckenlast

Die Streckenlast liegt jedoch nicht immer geometrisch bekannt vor, sondern kann z.B. wellenartig über eine Fläche (vereinfacht: Länge) verteilt sein. Die Schwierigkeit ist, dass die Einzelkräfte nicht gleich groß sind und auch nicht linear ansteigen.

Der Schwerpunkt ist mittels umfangreicher Schwerpunktberechnung zu ermitteln, auf welche hier nicht weiter eingegangen wird. Nachfolgend ist der Schwerpunkt, an welchem die Resultierende wirkt, vorgegeben.

Mit der Integralrechnung kann die Resultierende FR ermittelt werden, in dem alle Einzelkräfte der Länge nach zusammengefasst werden.
q(x) und dx spannen eine Fläche auf, dx ist dabei ein differenziell kleiner Betrag, so dass diese Fläche sich als Linie vorzustellen ist, die sich der Einzelkraft annähert.

Beispiel

Angenommen, an den Punkten A und B befinden sich Festlager, so kann z.B. das Moment am Punkt A ermittelt werden.

Für das Moment am Punkt A ist die Kraft By sowie die Resultierende der Streckenlast relevant.
Die Lagerkraft By wirkt über den Hebel der Länge L, doch über welchen Hebel wirkt die Resultierende FR?

Die Resultierende wirkt über den Hebel von dem Punkt A bis zum Schwerpunkt. Dies ist bei einer Streckenlast jedoch ein unglücklicher Weg, denn die Streckenlast besteht tatsächlich aus sehr vielen Einzelkräften, welche alle einen unterschiedlichen Hebel nutzen.
Beim Weg über die Integralrechnung kann dieser, von den Einzelkräften abhängige, Hebel genutzt werden.
Der Hebel ist die Länge x, er ist der Weg zwischen dem Punkt A und dem Punkt, an welchem die jeweilige Einzelkraft auftrifft.

Für Ingenieure ist es jedoch von äußerster Wichtigkeit, das Verhalten eines Materials bei Beanspruchung einschätzen zu können.

Bei Zug reagieren Körper mehr oder weniger (da materialabhängig) mit Dehnung. Welcher Grad der Dehnung und wann welche Dehnstufe (elastische Dehnung, plastische Dehnung, Bruch) erreich wird, wird mit einem Zugversuch im Labor getestet.
Beim Zugversuch werden Objekte eingespannt und an ihnen nach einem standarisiertem Verfahren gezogen.

Der Zugversuch setzt die Dehnung δ und die Spannung ε ins Verhältnis, es resultiert ein Wert (E-Modul) der Auskunft über die Elastizität bei Spannungsanstieg gibt. Der E-Modul wird i.d.R. mit der Einheit kN/mm² angegeben.

Mit dem Zugversuch können die Zugfestigkeit, Bruchdehnung, Streckgrenze und Proportionalitätsgrenze eines Materials bzw. eines Objekts aus einem bestimmten Material ermittelt werden. Mit dem Zugversuch bzw. den Ergebnissen aus dem Zugversuch kann ein Spannungs-Dehnungs-Diagramm konstruiert werden.

Die Spannung δ ist das Verhältnis aus einwirkende Kraft F und die Fläche A, auf die die Kraft wirkt.

Das Lese-Prinzip des Spannungs-Dehnungs-Diagramm ist einfach: Bei steigender Spannung, steigt die Dehnung. Die Dehnung kann beispielsweise linear ansteigen oder auch sehr ruckartig voranschreiten.

Grundsätzlich beginnt die Dehnung mit einem linearen Verhalten. In dem linearen Bereich gilt das Gesetz von Hooke (Hookesche Gesetz).

Der Wert des E-Moduls selbst ist also die anfängliche Steigung des Graphen im Spannungs-Dehnungs-Diagramm.

Spannungs-Dehnungs-Diagramm

Der Winkel α ist abhängig von der Sprödigkeit. Ein kleinerer Winkel α bedeutet, dass das Material eher duktil ist.

Ein weiterer interessanter Faktor ist die Querdehnung, dies ist die Dehnung, die senkrecht zur Beanspruchungsrichtung geschieht.

Die Poissonzahl v (oder μ), oder auch Querdehnzahl v (μ), ist das Verhältnis aus der Elastizität des Querschnitts εq und der Elastizität (in Beanspruchungsrichtung) ε.
Die Querschnittselastizität berechnet sich aus den Verhältnis des ursprünglichen Durchmessers und der Änderung des Durchmessers nach der Beanspruchung kurz vor Bruch.

Die Poissonzahl ist eine Materialkonstante und dimensionslos (wie auch z.B. der Reibungskoeffizient).

Die Elastizität (E-Modul) und die Poissonzahl sind wichtige Kennzahlen in der Festigkeitslehre.

Beispiele für E-Modul-Werte und Poissonzahlen:

• Titan mit 105 kN/mm² und einer Poissonzahl von 0,34
• Glas mit zwischen 50 und 90 kN/mm² und einer Poissonzahl zwischen 0,18 und 0,30
• Stahl (Ferrit) mit 210 kN/mm² und einer Poissonzahl zwischen 0,26 und 0,28

Hinweise:

Die Elastizität ist nicht nur von der beanspruchenden Kraft abhängig, sondern auch von der Temperatur.
Die Ursache einer Dehnung kann, neben einer Krafteinwirkung, auch eine veränderte Material-Temperatur sein.

Die Zähigkeit des Materials wird nicht mit dem Zugversuch, sondern mit dem Kerbschlagversuch zur Überprüfung der Kerbschlagzähigkeit in Erfahrung gebracht.

Auf den Balken wirken zwei Kräfte F1 und F2 ein.

Um die Gleichungen ohne Trigonometrie zu lösen wird die im Winkel α angreifende Kraft schon in der Skizze in die Kräfte F1x und F1y eingeteilt.

Es stehen zudem drei Längen a, b und c zur Verfügung.

Berechnung der Lagerkräfte

Als einzelne Aufgabe ist die Berechnung der Lagerkräfte zwar nicht unbedingt notwendig, jedoch hilfreich.

Der Balken befindet sich in Ruhe, es ist die Statik gegeben, daher gleichen sich alle Kräfte gegenseitig aus.

Aus dem Gleichungssystem resultieren folgende Lagerkräfte:

Berechnung der Schnittgrößen

Die Schnitte werden zwischen den relevanten Kräften (in diesem Beispiel sind alle Kräfte relevant) gesetzt; Es ergeben sich daher drei Schnitte und sechs Teilsysteme (drei Teilsystempaare, es wird nachfolgend nur auf die jeweils rechte Seite eingegangen).

In diesem Beispiel werden nur die positiven Schnittufer betrachtet, die Erschließung der Schnittlasten erfolgt von links nach rechts.

Erstes Teilsystem

Bei der Berechnung des Moments am Schnittpunkt wird die Länge a als Hebel verwendet. Der Hebel darf auch kleiner sein (um den Schnittpunkt zu verschieben), jedoch nicht größer als die Länge a!

Mit diesem Gleichungssystem können die gesuchten Kräfte (innere Normal- und Querkraft und das innere Moment) durch mathematische Lösung erschlossen werden.

Es ist nun bekannt, welche Abhängigkeiten der inneren Kräfte von den bekannten Größen (einwirkende Kräfte F1 und F2 sowie die Längenangaben) bestehen. Nach diesem Prinzip ist auch bei den Schnittgrößen an den anderen Schnitten vorzugehen.

Zweites Teilsystem

Das zweite Teilsystem nähert sich bis unmittelbar vor der Laberkraft am Punkt B.

Drittes Teilsystem

Alternative: Rückschlüsse aus den bereits errechneten Schnittlasten

Unter Miteinbeziehung negativer Schnittufer ist auch die Betrachtung mit absolutem Freischnitt (die drei imaginären Schnitte haben den Balken komplett in unabhängige Einzelteile zerlegt) möglich.

Dieses Verfahren kommt vor allem dann zur Anwendung, wenn die Konstruktion sehr komplex ist.
Der Nachteil liegt in der Abhängigkeit der inneren Kräfte von anderen inneren Kräften.

Es ist beim (von rechts aus) ersten Schnitt genauso zu verfahren, wie bereits beim ersten Schnitt geschehen.

Das zweite Teilsystem hat dann zwei entgegengesetzte innere Kräfte gleicher Größe (Q1 = Q2, N1 = N2, M1 = M2).

Das letzte Teilsystem, welches am (von rechts aus) am dritten Schritt beginnt, hat dann wieder nur einen Schnitt (mit negativem Schnittufer).

Eine Überbelastung einer Konstruktion führt jedoch nicht unbedingt zur Verformung oder zum Zerbrechen an den Lagern, auch die Träger können durch Krafteinwirkungen beschädigt werden, denn die Kräfte wirken auch in den Trägern selbst.

Von Bedeutung sind dabei die inneren Kräfte.

Mit einem imaginären Schnitt durch einen Träger, können die inneren Kräfte bzw. die Schnittgrößen skizziert werden.
Die Schnittgrößen spielen sowohl in der Statik, als auch in der Festigkeitslehre und in der Dynamik eine Rolle.

Beispiel: Ein Balken, der mit dem einen Ende in eine Wand eingespannt ist, nimmt am anderen Ende eine Kraft F auf.
Angenommen, der Träger sei unverformbar und unzerbrechlich, dann würde der Körper die gesamte Kraft an die Wand weitergeben.

Tatsächlich ist der Träger natürlich nicht unverformbar/unzerbrechbar. Möglicherweise wird der Träger durch die einwirkende Kraft verbogen. Wie stark die inneren Kräfte sind, kann durch einen Schnitt erfahren werden.

Durch den Schnitt entstehen zwei Teilsysteme. Es werden die innere Querkraft, die innere Normalkraft sowie das innere Moment am Schnittpunkt beider Teilsysteme freigelegt. Das innere Moment ist das Biegemoment.

Die Schnittgrößen selbst sind resultierende Kräfte, der tatsächlich im Querschnitt flächenverteilten Kräfte.
Die Schnittgrößen eines Teilsystems müssen zusammen mit den restlichen Größen des dazugehörigen Teilsystems im Gleichgewicht stehen, wenn die Statik (Ruhezustand) als sicher gilt.

Berechnet werden, können die Schnittgrößen in jedem Teilsystem. Die Schnittgrößen eines Schnittes sind in den entsprechenden Teilsystemen natürlich gleich!

Wo sollten an einem Träger die Schnittgrößen untersucht werden?

• Beim Bereichsende, immer kurz vor der Krafteinleitung
• bei einem neuen Bereich hinter bzw. vor einer Krafteinleitung
• bei Änderung der Geometrie des Trägers

Beispiel: Rechteck mit Schwerpunkt am Mittelpunkt

Flächenträgheitsmoment beim Rechteck, Rotation um die X-Achse

Flächenträgheitsmoment beim Rechteck, Rotation um die X-Achse

Das Objekt hat eine fest definierte Größe, die sich aus der Zusammensetzung aus 18 Quadraten mit der Seitenlänge a ergibt. Es handelt sich um ein komplexes Objekt, da es insgesamt gesehen eine komplexe Geometrie besitzt. Das Objekt kann aber in Objekte mit bekannter Geometrie unterteilt werden; Es ergeben sich dadurch vier Rechtecke.
Die Verbundstücke (Winkelstücke) gehören dem horizontalen Rechteck an.

Berechnung des Schwerpunkts

Für das Flächenträgheitsmoment muss der Schwerpunkt bekannt sein, dieser muss als Erstes berechnet werden.

Die Schwerpunktposition in X- und Y-Richtung berechnet sich aus der Summe aller Produkte aus den Schwerpunkpositionen Xsi/Ysi der Teilstücke und den Flächengrößen der entsprechenden Teilstücke, dividiert durch die Flächengröße des gesamten Objekts.

Für die Ermittlung des Schwerpunktes muss noch ein Koordinatenursprung als Orientierungspunkt gesetzt werden. Dieser könnte z.B. unten links gesetzt werden, mit dem Vorteil, dass das gesamte Objekt im positiven Koordinatenbereich liegt.
In diesem Beispiel wird der Ursprung (Punkt 0;0) des Koordinatensystems aber zwischen dem Teilstück 1 und dem Teilstück 2 platziert.

Es werden die Schwerpunktangaben und die Flächengrößen sowie das Produkt aus beiden Angaben für jedes Teilstück benötigt. Diese Werte sind leicht abzulesen und zu errechnen. Am übersichtlichsten geschieht dies in einer Tabelle.

Mit der tabellarischen Form können alle Faktoren übersichtlich geordnet werden und unter den Spalten die Summen aus den relevanten Werten gebildet werden. Diese Summen können dann in die Gleichung für die Schwerpunktberechnung eingesetzt werden.

Als Ergebnis steht nun ein Schwerpunkt S(0; -1,83) fest, dieser kann für eine bessere Vorstellung der Schwerpunktlage in die Skizze eingefügt werden.

Berechnung des Flächenträgheitsmoments

Das gesamte Objekt ist zusammengesetzt aus mehreren Teilstücken.
Das Flächenträgheitsmoment für das gesamte Gebilde berechnet sich nicht nur aus der Summe aller Flächenmomente der Teilstücke, sondern auch aus den Abständen der Schwerpunkte der jeweiligen Teilstücke von dem (errechneten) Schwerpunkt des gesamten Gebildes.

Diese Abstände werden quadriert und mit der Fläche des dazugehörigen Teilstücks multipliziert.

Jx = Flächenträgheitsmoment, Rotation um die X-Achse
Jy = Flächenträgheitsmoment, Rotation um die Y-Achse

Das Flächenträgheitsmoment eines einzelnen Objekts mit bekannter Geometrie berechnet sich mit dem Steiner Satz.
Die vier Teilstücke sind einfache Rechtecke.
In diesem Beispiel müssen daher die Gleichungen zur Errechnung des Flächenträgheitsmoments mit den Rotationsachsen X und Y für Rechtecke verwendet werden.

(Diese Gleichungen sind an die Geometrie eines Rechteckes gebunden! Die Flächenträgheitsmomente für Kreise, Halbkreise, Dreiecke, Trapeze etc. werden mit anderen Gleichungen nach dem Steiner Satz berechnet!)

Auch (bzw. insbesondere) bei der Errechnung der Flächenträgheitsmomente für komplexe Gebilde, ist der tabellarische Weg sehr hilfreich.

Es werden die Flächenträgheitsmomente mit den Gleichungen nach dem Steiner Satz für alle Teilstücke errechnet. Die Abstände ergeben sich aus der Subtraktion der Schwerpunktposition des gesamten Objekts von den Schwerpunkpositionen der jeweiligen Teilstücke.

Die ermittelten Summen können in die Gleichungen für die Ermittlung des Flächenträgheitsmoments des zusammengesetzten Objekts eingesetzt werden. Die Flächenträgheitsmomente um die X-Achse und um die Y-Achse wurden damit vollständig errechnet.

Mit der Berechnung des Flächenträgheitsmoments kann ein mögliche Verformung/Verbiegung eingeschätzt und so ein Körper auf seine Stabilität hin untersucht werden.
Abhängig von sind Flächenträgheitsmomente von Größe und Form (Geometrie) eines Querschnitts sowie von der Lage des Bezugsystems.

Flächenträgheitsmomente werden auch als Flächenmoment 2. Grades bezeichnet.

Berechnung des Flächenträgheitsmoments

Die Berechnung geschieht abhängig von der Geometrie nach dem Steiner Satz. Die Berechnung des Flächenträgheitsmomenteserfolgt bei einem Rechteck wie folgt:

Es ist der Schwerpunkt des Rechtecks zu bestimmen. Durch diesen verläuft die Rotationsachse.
Es kann um die X- und Y-Achse gedreht werden (im dreidimensionalen Raum zusätzlich um die Z-Achse).

Das Trägheitsmoment wird mit dem Buchstaben J symbolisiert.

Das Flächenträgheitsmoment ist hier von der Rotationsachse abhängig, da die Spiegelung über die X-Achsen ungleich der Spiegelung über die Y-Achse ist. (Bei Kreisen ist das Flächenträgheitsmoment unabhängig von der Rotationsachse). Daher muss das Trägheitsmoment mit der Rotationsachse X von dem mit der Rotationsachse Y unterschieden werden.

(Diese Gleichungen sind an die Geometrie eines Rechtecks gebunden! Für Dreiecke, Kreise, Halbkreise, Trapeze etc. gelten andere Gleichungen nach dem Steiner Satz)

Ermittlung der Flächenträgheitsmomente bei zusammengesetzten Objekten

Beispiel: Zwei gleiche Träger sind mit einer Kugel verbunden. (Hierbei wird sich jedoch auf die Zweidimensionalität beschränkt, daher handelt es sich nicht um eine Kugel, sondern um einen Kreis).

Zur Ermittlung des Flächenträgheitsmoments wird das Objekt um die eigene (vertikal, die einzige Spiegelachse) Achse gedreht.

Probleme bereitet die komplexe Geometrie des gesamten Objekts. Das Objekt kann jedoch in einzelne Teilstücke mit jeweils bekannter Geometrie zerlegen.

Während der Kreis seine Achse, welche aus Sicht des gesamten Körpers zentral liegt, behält, bekommen die vier Träger jeweils eine eigene Achse. Jede Teilstück-Achse muss durch den Schwerpunkt des Teilsstückes gehen und parallel zur zentralen Achse der Kugel verlaufen.

Nun können die Flächenmomente der einzelnen Teilstücke errechnet werden. Für die Ermittlung des gesamten Objekts sind noch die Abstände ein wichtiger Faktor. Der Abstand ist im Grunde ein Radius, denn wenn die Abstände um die Hauptrotationsachse gedreht wird, würde ein Kreis entstehen. (hierfür ist etwas Vorstellungskraft nötig)

Das Flächenträgheitsmoment Jz des gesamten Gebildes um die Z-Achse errechnet sich nun aus der Summe aller Flächenträgheitsmomente der Teilflächen Ji, addiert mit der Summe aller Produkte der quadrierten Abstände r der Teilstück-Achsen von der zentralen Hauptachse des gesamten Gebildes und der Flächeninhalte der Teilstücke Ai.

Analog verhält es sich mit dem Volumenträgheitsmoment. Dann fließt statt der Fläche das Körper-Volumen in die Rechnung mit ein.

Hinweis:
Das Flächenträgheitsmoment sollten nicht mit dem Massenträgheitsmoment verwechselt werden. Das Massenträgheitsmoment befasst sich nicht mit der Steifigkeit/Stabilität eines Materials oder Objekts, sondern mit der Trägheit einer Reaktion auf veränderte Rotationsgeschwindigkeit. Massenträgheitsmomente befassen sich mit dem Bewegungszustand eines Körpers.

In der vereinfachten Darstellung wird jedoch nur mit einer resultierenden Kraft gerechnet. Diese muss jedoch am Schwerpunkt ansetzen.

Im Körper ist der Punkt, in dem die Resultierende aller Massenkräfte angreift, der Massenmittelpunkt. Die Resultierende aller Massenkräfte ist die Gewichtskraft. Entsprechendes gilt auch für den Flächenmittelpunkt.

Die Schwerpunktberechnung ist verhältnismäßig simpel. Bei einfachen Objekten, z.B. bei einem Kreis oder einem Rechteck, ist die Ermittlung des Schwerpunktes ohne Umwege möglich. Bei komplexeren, weil zusammengesetzten, Objekten, ist dies ein wenig umständlicher.
Als Beispiel dient hier ein verwinkelter Balken. Diese besteht im Grund aus drei Rechtecken.
Es soll der Flächenschwerpunkt errechnet werden.

Das Objekt muss in Teilflächen separiert werden, denn so stehen drei einfache Objekte mit bekannter Geometrie (hier: Rechtecke) zur Verfügung. Die Teilstücke werden (in diesem Beispiel mit Römischen Zahlen) nummeriert.

Wichtig (und eine häufige Fehlerquelle) ist bei der Schwerpunktberechnung, dass Flächenteile nicht doppelt berücksichtigt werden. Diese Gefahr besteht vor allem an den Verbundstücken des Objekts.
In diesem Beispiel, gehören die Teilflächenüberschneidungen zum vertikalen Balken, sie hätten auch zu den horizontalen Balken gehören können (siehe hier).

Die Flächenschwerpunktberechnung erfolgt mit folgenden Formeln:

Die Schwerpunktermittlung erfolgt für jede Dimension getrennt.
Es werden die Schwerpunktpositionen aller Teilstücke (Xsi und Ysi, i = Anzahl der Teilstücke) mit den jeweiligen Flächengrößen der Teilstücke multipliziert. Da es sich um ein großes, aus den Teilstücken zusammengesetztes Objekt handelt, werden diese Produkte summiert und durch die gesamte Flächengröße dividiert.

Für die Schwerpunktberechnung sind demnach alle Teilschwerpunktpositionen (in X- und Y-Richtung), alle Teilflächengrößen und die gesamte Flächengröße notwendig.

Es fehlt noch ein Orientierungspunkt. Daher muss ein Ursprung im Koordinatensystem festgelegt werden.
Dieses kann beliebig gesetzt worden sein (es darf jedoch über die Berechnung hinweg nicht verschoben werden, ansonsten müssen die Werte umgerechnet werden).
Im Beispiel wird der Ursprung des Koordinatensystems unten links positioniert. Dies ist empfehlenswert, da sich die gesamte Fläche des Objekts im positiven Bereich des Koordinatensystems befindet.

Die Berechnung der für die Flächenschwerpunktberechnung notwendigen Größen erfolgt idealerweise mit einer Tabelle, da sonst schnell die Übersicht verloren geht. Die Tabelle hat drei Zeilen, da die zusammengesetzte Fläche drei Teilflächen hat. Die gesuchten Größen werden in der vierten Zeile summiert und damit für die Berechnung mit den Formeln für die Teilflächenschwerpunkte vorbereitet.

In die Tabelle werden die jeweiligen Werte eingetragen.
Die Werte Xsi und Ysi werden für jede Teilfläche am Koordinatensystem abgelesen, dabei gilt bei Rechtecken, dass der Schwerpunkt eines Rechteckes an einer Dimension an der Hälfte der Seitenlänge liegt; Orientierungspunkt ist der im Vorfeld festgelegte Koordinatenursprung (Punkt 0;0).

Die ermittelten Summen können dann in die Formeln für die Ermittlung der Flächenschwerpunkte eingetragen werden.

Der errechnete Schwerpunkt kann nun in die Skizze eingetragen werden.

Eine Rolle ist ein gewickeltes Material – Als Beispiel darf man sich gerne die “Klorolle” vorstellen.

Die (hier als Beispiel verwendete) Toilettenpapier-Rolle ist an einer Wand mit einem Stab befestigt. Der Stab und die Rolle sind über ein Gelenk verbunden, so dass sich die Rolle drehen kann.

Durch einen Stab, wird die Rolle fixiert und gegen die Wand gedrückt. Wird an der Rolle gezogen, muss das Papier eine Haftung an der Wand überwinden, um die Rolle drehen zu können.

Von Interesse ist hier demnach die Haftungskraft. Die Haftungskraft ist maximal so groß, wie das Produkt aus der Normalkraft und dem Haftunsbeiwert μ.

Um die Haftungskraft in ihrer Maximalgröße zu ermitteln, wird daher die Normalkraft benötigt.

Um das Kräftegleichgewicht (zur Erinnerung: Die Rolle bewegt sich nicht, alle Kräfte heben sich gegenseitig auf) aufzustellen, werden die Kräfte an der Rolle skizziert:

Die Normalkraft N ist eine horizontal wirkende Kraft. Daher ist die Normalkraft im Kräftegleichgewicht auf der X-Achse zu finden. Die Normalkraft kann durch mathematische Umstellung ermittelt werden.

Die Normalkraft ergibt sich in diesem Fall leider aus zwei anderen Kräften und dem Winkel α.
Die Zugkraft F kann leicht bestimmt werden bzw. ist variabel. Der Winkel α ist genauso wie der Winkel β gegeben bzw. kann gemessen werden. Doch wovon ist die Stabkraft S abhängig?

Die Stabkraft S wirkt im Winkel α auf die Rolle, sie wirkt also sowohl horizontal als auch vertikal. Daher kann die Stabkraft auch aus dem vertikalen Gleichgewicht der Kräfte erschlossen werden.

Durch mathematische Umstellung kann so auch die Stabkraft S ermittelt werden. Allerdings wird hier davon ausgegangen, dass sich die Rolle zwar nicht dreht, die Zugkraft demnach genau so stark wie die Haftungskraft ist – so kann die Haftungskraft H in der Gleichung durch die Zugkraft F ersetzt werden. Wird die Zugkraft nur minimal erhöht, wird sich die Rolle bereits drehen (da dann F größer als H ist).

Nun kann die Stabkraft S in die Gleichung der Normalkraft eingesetzt werden.

Die Gleichung, aus der sich die Normalkraft N ergibt, steht nun mit bekannten Größen bereit.
So kann N in die Gleichung zur Ermittlung der maximalen Haftungskraft eingetragen werden.

Es fehlt lediglich der Wert μ. Dieser ist abhängig vom verwendeten Material der Wand (z.B. Keramik) und der Rolle (z.B. Papier).

Hinweise:

Das Gelenk, welches die Rolle mit dem Befestigungsstab verbindet, hat natürlich noch einen eigenen, inneren Haftungswiderstand. Dieser wurde hier jedoch nicht berücksichtigt.

Hier wird außerdem nicht darauf eingegangen, dass die Zugkraft F in ihrer Größe beschränkt ist (da das Papier reißen würde).